Ein Verfahren, um lineare Gleichungssysteme aufzulösen.
lineares Gleichungssystem Ein lineares Gleichungsystem mit n Gleichungen und n Unbekannten x sieht so aus:
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Das Gleichungssystem kann auch in Matrixform dargestellt werden:
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oder kurz
| (3) |
Das ist eigentlich “nur” eine andere Schreibweise.
Man löst nun das Gleichunsystem, indem man es in die Form
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bringt, und nachher rückwärts aufllöst:
Aus der letzten Zeile kann man xn ausrechnen. Han man aber xn, kann man mit
der zweitletzten Zeile xn-1 ausrechnen; etc...
Die Gleichungssysteme 4 und 2 haben die gleiche Lösung x1...xn. (Nein, das
beweise ich nicht.)
Das Vorgehen ist eigentlich das gleiche, wie wenn man ein Gleichungsystem von
Hand löst:
Man nimmt Zeilen von A und b, multipliziert sie mit geeigneten Faktoren und
zählt sie voneinander ab bzw. addiert sie:
Weil das mit Indexen und so recht kompliziert ist
1 und ich es
auch nicht mehr so genau weiss (und mein LATEX2Compiler sowieso heute dauernd auf
die Nase fällt 2,
was aber an mir liegt), mache ich einfach ein
Beispiel: Gegeben sei das 3 . 3 Gleichungssystem
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was also folgendem A und b entspricht:
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Ich nehme nun Zeile 1 mit 2 multipliziert und ziehe die zweite davon ab: Das Ergebnis schreibe ich in die 2. Zeile:
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Das gleiche mit Zeile 1 mit 3 multiplieziert und die dritte abziehen:
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Nun das gleiche mit den beiden letzten Zeilen: Zeile 2 mit 2 multiplieren, Zeile 3 davon abziehen:
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Wir haben unser System 5 also in die folgende Form gebracht:
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Das kann man nun einfach lösen, indem man rückwärts einsetzt: man erhält:
| (11) |
Und nun gehe ich schlafen.
Typeset in LATEX2using OzTEX4.0 on iBook.
Quellcode: gauss.tex
nach: Prof. Jürg Marti, Numerische Mathematik I (2.1, Ordner V), ETH Zürich, 199?