Integrale
Die wichtigsten Regeln.
Vertauschen der Integrationsgrenzen:
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Sie F(x) eine Stammfunktion von f(x), G(x) von g(x): Es gelte also F'(x) = f(x) bzw. f(x)dx = F(x) + const etc.
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Integration durch Substitution:
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Bem.: Die Gleichungen 5 ist das Pendant zur Produktregel in der Ableitungstheorie, bzw. Gleichung 6 zur Kettenregel (”innere Ableitung”).
Der Hauptsatz der Infinitesimalrechnung sagt etwa: Das Integral ist die Umkehrung der Ableitung. Also: leitet man eine Funktion ab, und integriert sie dann, bekommt man wieder das gleiche. Und umgekehrt auch. Formal (mit Integrationsgrenzen) sieht das so aus:
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Und umgekehrt:
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Im Übrigen soll man immer auf die Listen der Ableitungsrechung zurückgreifen:
Bsp.: Es soll
cosxdx berechnet werden: Man weiss:
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aus der Differentialrechung. Will man also das Integral von cosx berechnen, lese man 14 rückwärts und erhaltet:
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Das funktionniert mit allen bekannten Ableitungen. Weiss man also, dass eine zu
integrierende Funktion die Ableitung von etwas ist, ist dieses Etwas die Lösung
des Integrals.
als LATEX- Übung, ©rs März 1997, rschumm@g26.ethz.ch